logotip

Арифметический квадратный корень и его свойства


Площадь квадратного участка земли равна 81 дм². Найти его сторону. Предположим, что длина стороны квадрата равна х дециметрам. Тогда площадь участка равна х² квадратным дециметрам. Так как по условию эта площадь равна 81 дм², то х² = 81. Длина стороны квадрата — положительное число. Положительным числом, квадрат которого равен 81, является число 9.  При решении задачи требовалось найти число х, квадрат которого равен 81, т. е. решить уравнение х² = 81. Это уравнение имеет два корня: x1 = 9 и x2 = — 9, так как 9² = 81 и (- 9)² = 81. Оба числа 9 и — 9 называют квадратными корнями из числа 81.

Заметим, что один из квадратных корней х = 9 является положительным числом. Его называют арифметическим квадратным корнем из числа 81 и обозначают √81, таким образом √81 = 9.

Арифметическим  квадратным  корнем из числа а называется неотрицательное число, квадрат которого равен а.

Например, числа 6 и — 6 являются квадратными корнями из числа 36. При этом число 6 является арифметическим квадратным корнем из 36, так как 6 — неотрицательное число и 6² = 36. Число — 6 не является арифметическим корнем.

Арифметический квадратный корень из числа а обозначается так: √а.

Знак называется знаком арифметического квадратного корня; а — называется подкоренным выражением. Выражение √а читается так: арифметический квадратный корень из числа а. Например, √36 = 6, √0 = 0, √0,49 = 0,7. В тех случаях, когда ясно, что речь идет об арифметическом корне, кратко говорят: «корень квадратный из а«.

Действие нахождения квадратного корня из числа называют извлечением квадратного корня. Это действие является обратным к возведению в квадрат.

Возводить в квадрат можно любые числа, но извлекать квадратные корни можно не из любого числа. Например, нельзя извлечь квадратный корень из числа — 4. Если бы такой корень существовал, то, обозначив его буквой х, мы получили бы неверное равенство х² = — 4, так как слева стоит неотрицательное число, а справа отрицательное.

Выражение √а имеет смысл только при а ≥ 0. Определение квадратного корня можно кратко записать так: √а ≥ 0, (√а)² = а. Равенство (√а)² = а справедливо при а ≥ 0. Таким образом, чтобы убедиться в том, что квадратный корень из неотрицательного числа а равен b, т. е. в том, что √а =b, нужно проверить, что выполняются следующие два условия: b ≥ 0, b² = а.

Квадратный корень из дроби

Вычислим . Заметим, что √25 = 5, √36 = 6, и проверим выполняется ли равенство .

Так как    и   , то равенство верно. Итак,   .

Теорема: Если а ≥ 0 и b > 0, то    т. е. корень из дроби равен корню из числителя, деленному на корень из знаменателя.  Требуется доказать, что:     и .

Так как √а ≥0 и √b > 0, то  .

По свойству возведения дроби в степень и определению квадратного корня   теорема доказана. Рассмотрим несколько примеров.

Вычислить , по доказанной теореме  .

Второй пример: Доказать, что   , если а ≤ 0, b < 0.  .

Еще примерчик: Вычислить  .

.

Преобразование квадратных корней

Вынесение множителя из-под знака корня. Пусть дано выражение . Если а ≥ 0 и b ≥ 0, то по теореме о корне из произведения можно записать:

Такое преобразование называется вынесение множителя из под знака корня. Рассмотрим пример;

Вычислить  при х = 2. Непосредственная подстановка х = 2 в подкоренное выражение приводит к сложным вычислениям. Эти вычисления можно упростить, если вначале вынести из-под знака корня множители: .    Подставив теперь х = 2, получим:.

Итак, при вынесении множителя из-под знака корня представляют подкоренное выражение в виде произведения, в котором один или несколько множителей являются квадратами неотрицательных чисел. Затем применяют теорему о корне из произведения и извлекают корень из каждого множителя.    Рассмотрим пример: Упростить выражение А = √8 + √18 — 4√2 вынося в первых двух слагаемых множители из-под знака корня, получим:. Подчеркнем, что равенство  справедливо только при а ≥ 0 и b ≥ 0. если же а < 0, то .

В некоторых случаях полезно вносить множители под знак корня, т. е. выполнять преобразования вида, где а ≥ 0 и b ≥ 0. Рассмотрим пример;

Упростить выражение  где а > 0, b > 0. Внося положительные множители а и b под знак корня, получаем:.

Ну и в заключении хочется упомянуть, что сам значок называется радикал.

 

 

Автор публикации

не в сети 7 дней

Юрий

0
Комментарии: 3Публикации: 74Регистрация: 04-09-2015


Добавить комментарий

Войти с помощью: 

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Авторизация
*
*
Войти с помощью: 
Регистрация
*
*
*
Войти с помощью: 
Генерация пароля