Как решить квадратное уравнение через дискриминант
Понятие квадратного уравнения.
Рассмотрим задачу. Основание прямоугольника больше высоты на 10 см., а его площадь равна 24 см². Найти высоту прямоугольника. Пусть х сантиметров — высота прямоугольника, тогда его основание равно (х +10) см. Площадь этого прямоугольника равна х (х + 10) см². По условию задачи х (х + 10) = 24. Раскрывая скобки и перенося число 24 с противоположным знаком в левую часть уравнения, получаем: х² + 10х -24 = 0. При решении этой задачи было получено уравнение, которое называют квадратным.
Квадратным уравнением называется уравнение вида
ax²+bx+c=0
где a, b, c — заданные числа, причем а ≠ 0, а х — неизвестное.
Коэффициенты a, b, c квадратного уравнения обычно называют так: a — первым или старшим коэффициентом, b — вторым коэффициентом, c — свободным членом. Например в нашей задаче старший коэффициент равен 1, второй коэффициент 10, свободный член -24. Решение многих задач математики и физики сводится к решению квадратных уравнений.
Решение квадратных уравнений
Полные квадратные уравнения. Первым делом надо заданное уравнение привести к стандартному виду ax²+ bx + c = 0. Вернемся к нашей задаче, в которой уравнение может быть записано как х (х + 10) = 24 приведем его к стандартному виду, раскроем скобки х² + 10х — 24 = 0, решим это уравнение с помощью формулы корней квадратного уравнения общего вида.
Выражение под знаком корня в этой формуле называется дискриминант D = b² — 4ac
Если D>0, то квадратное уравнение имеет два различных корня, которые можно найти по формуле корней квадратного уравнения.
Если D=0, то квадратное уравнение имеет один корень.
Если D<0, то квадратное уравнение не имеет действительных корней, т. е. не имеет решения.
Подставим значения в нашу формулу а = 1, b = 10, c = -24.
получаем D>0, следовательно у нас получится два корня.
Рассмотрим пример где D=0, при этом условии должен получится один корень.
25x² — 30x + 9 = 0
Рассмотрим пример где D<0, при этом условии решения не должно быть.
2x² + 3x + 4 = 0
Число, стоящее под знаком корня (дискриминант) отрицательное, ответ запишем так: уравнение не имеет действительных корней.
Решение неполных квадратных уравнений
Квадратное уравнение ax² + bx + c = 0 называют неполным, если хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю. Неполное квадратное уравнение, есть уравнение одного из следующих видов:
ax² = 0,
ax² + c = 0, c ≠ 0,
ax² + bx = 0, b ≠ 0.
Рассмотрим несколько примеров, решим уравнение
5x² =0
Разделив обе части уравнения на 5, получим уравнение х² = 0, в ответе будет один корень х = 0.
Рассмотрим уравнение вида
3х² — 27 = 0
Разделив обе части на 3, получим уравнение х² — 9 = 0, или его можно записать х² = 9, в ответе будет два корня х = 3 и х = -3.
Рассмотрим уравнение вида
2х² + 7 = 0
Разделив обе части на 2, получим уравнение х² = -7/2. Это уравнение действительных корней не имеет, так как х² ≥ 0 для любого действительного числа х.
Рассмотрим уравнение вида
3х² + 5х = 0
Разложив левую часть уравнения на множители, получим х (3х + 5) = 0, в ответе будет два корня х = 0, х =-5/3.
Самое главное при решении квадратных уравнений, привести квадратное уравнение к стандартному виду, выучить наизусть формулу корней квадратного уравнения общего вида и не запутаться в знаках.
Юрий, полезная статья. У меня сын в третий класс ходит, не ровен час будут квадратные уравнения.
Ваш блог добавил в закладки.