Линейная функция — область определения и значения. Свойства, примеры и график
Функцию, которую можно задать формулой вида y = kx + b, где k и b — некоторые числа, х — независимая переменная, называют линейной. Рассмотрим несколько примеров.
В бассейне было 200 л. воды. В течении t мин. в бассейн каждую минуту поступало 80 л. воды. Тогда объем V воды в бассейне вычисляется по формуле: V = 80t + 200, где t ≥ 0. Эта формула задает функциональную зависимость переменной V от переменной t.
Первая бригада собрала 25 ящиков яблок; каждый рабочий второй бригады собрал по 2 ящика. Пусть во второй бригаде было х рабочих. Обозначим число всех ящиков, собранных двумя бригадами, буквой y. Тогда зависимость переменной y от переменной х выражается формулой y = 2x + 25, где х — натуральное число. Важно заметить, что областью определения линейной функции являются все действительные числа.
График линейной функции
Построим график функции y = -2x + 1.
Первым делом составим таблицу значений этой функции для некоторых значений аргумента.
| х | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| y | 7 | 5 | 3 | 1 | -1 | -3 | -5 |
Точки А(-3;7), В(-2;5), С(-1;3), Е(0;1), Т(1;-1), М(2;-3), К(3;-5) принадлежат искомому графику.
Все эти точки лежат на одной прямой, которая и является графиком функции y = -2x + 1.
Заметим, что вертикальная прямая, т. е. прямая перпендикулярная оси абсцисс не может служить графиком функции. Поскольку прямая однозначно задается любыми двумя своими точками, то то для построения графика линейной функции достаточно выбрать два произвольных значения аргумента и составить таблицу значений функции, имеющую лишь два столбца. Рассмотрим пример.
Построим график функции y = — 3x + 2, составим таблицу значений данной функции для двух произвольных значений аргумента.
| х | 0 | 1 |
| y | 2 | -1 |
Отметим на координатной плоскости точки (0;2) и (1;-1) и проведём через них прямую линию.
Эта прямая является графиком линейной функции y = — 3x + 2.
В формуле y = kx + b, задающей линейную функцию, не исключены случаи, когда k = 0 или b = 0. Рассмотрим случай, когда b = 0 и k ≠ 0. Тогда формула приобретает вид y = kx. Отсюда для всех не равных нулю значений аргумента можно записать, что y/x = k. Эта формула показывает, что для функции y = kx при x ≠ 0 отношение соответствующих значений зависимой и независимой переменных остается постоянным и равно k. Такую зависимость называют прямой прямой пропорциональностью. Поэтому линейную функцию, которую задают формулой y = kx, где k ≠ 0, называют прямой пропорциональностью. Функции y = 2x, y = x, y = — x, y = —1/3x — примеры прямых пропорциональностей. Поскольку прямая пропорциональность — частный случай линейной функции, то её график — прямая. Особенностью является то, что эта прямая при любом значении k проходит через точку О(0;0). Действительно, если в формуле y = kx предположить что x = 0, то получим y = 0. Поэтому для построения графика прямой пропорциональности достаточно указать какую-нибудь точку графика, отличающуюся от начала координат, и провести прямую через эту точку и начало координат О(0;0). Для примера изобразим графики прямых пропорциональностей которые приводились выше.
Рассмотрим еще один частный случай линейной функции. В формуле y = kx + b предположим k = 0. Получим y = b. Ясно, что в этом случае значения функции будут оставаться неизменными при любых изменениях значений аргумента. Рассмотрим пример, построим график функции y = 2. Как и для построения графика любой линейной функции, нужно знать две принадлежащие ему точки. Эти точки будут иметь одинаковые ординаты, равные 2. Их абсциссы выберем произвольно, например равные -2 и 0. Остается провести прямую через точки А(-2;2) и В(0;2), эта прямая будет параллельна оси абсцисс.
Важно, графиком функции y = 0 является ось абсцисс. Графиком функции y = b, где b ≠ 0, является прямая, параллельная оси абсцисс.
Рассмотрим пример, задайте формулой линейную функцию, график которой изображен на рисунке ниже.
График данной функции пересекает ось ординат в точке (0;4). Подставив координаты этой точки в формулу y = kx + b, получаем 4 = k0 + b, откуда b = 4. Так как данный график пересекает ось абсцисс в точке (3;0), то подставив её координаты в формулу y = kx + 4, получим: 3k + 4 = 0, k = —4/3. в ответе получаем уравнение y = -4/3x + 4.