Формула теоремы Виета, и примеры решения

Перед тем как перейти к теореме Виета, введем определение.                                                                        Квадратное уравнение вида x² + px + q = 0 называется приведенным. В этом уравнении старший коэффициент равен единице. Например, уравнение x² — 3x — 4 = 0 является приведенным. Всякое квадратное уравнение вида ax² + bx + c = 0 можно сделать приведенным, для этого делим обе части уравнения на а ≠ 0. Например, уравнение 4x² + 4x — 3 = 0 делением на 4 приводится к виду: x² + x — 3/4 = 0.                           Выведем формулу корней приведенного квадратного уравнения, для этого воспользуемся формулой корней квадратного уравнения общего вида:                                                                                                                                                        ax² + bx + c = 0

Приведенное уравнение x² + px + q = 0 совпадает с уравнением общего вида, в котором а = 1, b = p, c = q. Поэтому для приведенного квадратного уравнения формула принимает вид:

или

последнее выражение называют формулой корней приведенного квадратного уравнения, особенно удобно пользоваться этой формулой когда р — четное число.                                                                                                         Для примера решим уравнение x² — 14x — 15 = 0

В ответ запишем уравнение имеет два корня.

Для приведенного квадратного уравнения с положительным дискриминантом справедлива следующая теорема.

Теорема Виета

Если x₁ и x₂  — корни уравнения x² + px + q = 0, то справедливы формулы:

x₁ + x₂ = — р

x₁ * x₂  = q,    то есть сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Исходя из формулы корней приведенного квадратного уравнения имеем:

Складывая эти равенства, получаем: x₁ + x₂ = —р.

Перемножая эти равенства, по формуле разности квадратов получаем:

Отметим, что теорема Виета справедлива и тогда, когда дискриминант равен нулю, если считать, что в этом случае квадратное уравнение имеет два одинаковых корня: x₁ = x₂ = — р/2.

Не решая уравнения x² — 13x + 30 = 0 найдем сумму и произведение его корней x₁ и x₂. Дискриминант этого уравнения D = 169 — 120 = 49 > 0, поэтому можно применить теорему Виета: x₁ + x₂ = 13,  x₁ * x₂  = 30. Рассмотрим еще несколько примеров. Один из корней уравнения x² — рx — 12 = 0 равен x₁ = 4. Найти коэффициент р и второй корень x₂ этого уравнения. По теореме Виета x₁ * x₂  = — 12,  x₁ + x₂ = — р.                   Так как x₁ = 4, то 4x₂ = — 12,  откуда x₂ = — 3,  р = — (x₁ + x₂ ) = — (4 — 3) = — 1.                                                                          В ответ запишем, второй корень x₂ = — 3, коэффициент р = — 1.

Не решая уравнения x² + 2x — 4 = 0 найдем сумму квадратов его корней. Пусть x₁ и x₂  — корни уравнения. По теореме Виета x₁ + x₂ = — 2,  x₁ * x₂  = — 4. Так как x₁²+ x₂² = (x₁ + x₂)² — 2x₁x₂, тогда x₁²+ x₂² =(- 2)² -2 (- 4) = 12.

Найдем сумму и произведение корней уравнения 3x² + 4x — 5 = 0. Данное уравнение имеет два различных корня, так как дискриминант D = 16 + 4*3*5 > 0. Для решения уравнения воспользуемся теоремой Виета. Эта теорема доказана для приведенного квадратного уравнения. Поэтому разделим данное уравнение на 3.

Следовательно, сумма корней равна -4/3, а их произведение равно -5/3.

В общем случае корни уравнения  ax² + bx + c = 0 связаны следующими равенствами: x₁ + x₂ = — b/a,             x₁ * x₂  = c/a,  Для получения этих формул достаточно разделить обе части данного квадратного уравнения на а ≠ 0 и  применить к полученному приведенному квадратному уравнению теорему Виета.                                       Рассмотрим пример, требуется составить приведенное квадратное уравнение, корни которого x₁ = 3, x₂ = 4. Так как x₁ = 3, x₂ = 4 — корни квадратного уравнения x² + px + q = 0, то по теореме Виета  р = — (x₁ + x₂) = — 7,    q = x₁x₂ = 12. В ответ запишем x² — 7x + 12 = 0.                                                                                                                     При решении некоторых задач применяется следующая теорема.

Теорема, обратная теореме Виета

Если числа р, q, x₁, x₂ таковы, что x₁ + x₂ = — р, x₁ * x₂  = q, то x₁ и x₂ — корни уравнения x² + px + q = 0. Подставим в левую часть x² + px + q вместо р выражение — (x₁ + x₂), а вместо q — произведение x₁ * x₂. Получим: x² + px + q = x² — (x₁ + x₂) х + x₁x₂ = x² — x₁x — x₂x + x₁x₂ = (x — x₁) (x — x₂).                                               Таким образом, если числа р, q, x₁ и x₂ связаны этими соотношениями, то при всех х выполняется равенство x² + px + q = (x — x₁) (x — x₂), из которого следует, что x₁ и x₂ — корни уравнения  x² + px + q = 0. Используя теорему, обратную теореме Виета, иногда можно подбором найти корни квадратного уравнения. Рассмотрим пример,  x² — 5x + 6 = 0. Здесь р = — 5, q = 6. Подберем два числа x₁ и x₂ так, чтобы                  x₁ + x₂ = 5,  x₁ * x₂  = 6.  Заметив, что 6 = 2 * 3 , а 2 + 3 = 5, по теореме, обратной теореме Виета, получаем, что  x₁ = 2, x₂ = 3 — корни уравнения x² — 5x + 6 = 0.